વિધાન -1: દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે,(n + 1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) વિધાન $-2$ માટે: ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ અને પૂર્ણાંક $n$ માટે,$n^p \equiv n \pmod{p}$. અહીં $p = 7$ છે,તેથી $n^7 \equi

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન $-1$ સાચું છે,વિધાન $-2$ સાચું છે; વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

Vedclass · Answer

(D) વિધાન $-2$ માટે: ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ અને પૂર્ણાંક $n$ માટે,$n^p \equiv n \pmod{p}$. અહીં $p = 7$ છે,તેથી $n^7 \equiv n \pmod{7}$,જેનો અર્થ છે કે $n^7 - n$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે. આમ,વિધાન $-2$ સાચું છે.વિધાન $-1$ માટે: દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(n + 1)^7$ નું વિસ્તરણ કરતા: $(n + 1)^7 = n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n + 1$. તેથી $(n + 1)^7 - n^7 - 1 = 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n = 7(n^6 + 3n^5 + 5n^4 + 5n^3 + 3n^2 + n)$. આ પદ સ્પષ્ટપણે $7$ વડે વિભાજ્ય છે. આમ,વિધાન $-1$ સાચું છે.નોંધો કે વિધાન $-1$ ને $(n+1)^7 - (n+1) - (n^7 - n) = 7k$ તરીકે લખી શકાય છે. કારણ કે $(n+1)^7 - (n+1)$ અને $n^7 - n$ બંને $7$ વડે વિભાજ્ય છે (વિધાન $-2$ મુજબ),તેથી તેમનો તફાવત પણ $7$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

Similar Questions

ત્રણ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો $1$ વધારતા તે કોના વડે વિભાજ્ય છે?

સૌથી મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા $k$ નું મૂલ્ય શોધો,જેથી $49^k + 1$ એ $48(49^{125} + 49^{124} + \ldots + 49^2 + 49 + 1)$ નો અવયવ હોય.

જ્યારે $7^n - 6n - 50$ $(n \in N)$ ને $36$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?

દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $n \in N$ માટે $6^{n} - 5n$ ને $25$ વડે ભાગતા હંમેશા શેષ $1$ વધે છે.

જો $a, b$ અને $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોય,તો $a^{2n-1} + b^{2n-1}$ હંમેશા કોના વડે વિભાજ્ય છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module